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绝对值的几何意义是什么 绝对值有两个意义

2023-02-01 10:59:27来源：互联网  

如果问初一学生有理数哪部分内容最难，相信很多学生会回答，绝对值！今天让我们一起梳理绝对值的知识点和解题方法，帮学生轻松攻克绝对值！


(资料图片)

绝对值有两个意义：

（1）代数意义：非负数（包括零）的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数。即|a|＝a（当a≥0） , |a|＝－a （当a＜0）

（2）几何意义：一个数的绝对值等于数轴上表示它的点到原点的距离。

灵活应用绝对值的基本性质：

（1）|a|≥0；（2）|ab|＝|a|·|b|；（3）|a/b|＝|a|/|b|(b≠0)（4）|a|－|b|≤ |a＋b|≤|a|＋|b|；（5）|a|－|b|≤ |a－b|≤|a|＋|b|；

点A、B在数轴上分别对应的数为a、b，则A、B两点间的距离表示为|AB|＝|a－b|，利用绝对值的距离公式找最小值，是考试中的一个难点。现在跟随老师的脚步，从特色到一般出发，一起探究做此题的套路吧，这一类题就都可以解决啦！

【问题提出】|a﹣1|+|a﹣2|+|a﹣3|+…+|a﹣2019|最小值是多少？

【阅读理解】

为了解决这个问题，我们先从最简单的情况入手．|a|的几何意义是a这个数在数轴上对应的点到原点的距离．那么|a﹣1|可以看做a这个数在数轴上对应的点到1的距离；|a﹣1|+|a﹣2|就可以看作a这个数在数轴上对应的点到1和2两个点的距离之和．下面我们结合数轴研究|a﹣1|+|a﹣2|的最小值．

我们先看a表示的点可能的3种情况，如图所示：

（1）如图①，a在1的左边，从图中很明显可以看出a到1和2的距离之和大于1．

（2）如图②，a在1和2之间（包括在1，2上），可以看出a到1和2的距离之和等于1．

（3）如图③，a在2的右边，从图中很明显可以看出a到1和2的距离之和大于1．

【问题解决】

（1）|a﹣2|+|a﹣5|的几何意义是______．请你结合数轴探究：|a﹣2|+|a﹣5|的最小值是_____．

（2）|a﹣1|+|a﹣2|+|a﹣3|的几何意义是_____．请你结合数轴探究：|a﹣1|+|a﹣2|+|a﹣3|的最小值是 ______，并在图④的数轴上描出得到最小值时a所在的位置，由此可以得出a为 ______．

（3）求出|a﹣1|+|a﹣2|+|a﹣3|+|a﹣4|+|a﹣5|的最小值．

（4）求出|a﹣1|+|a﹣2|+|a﹣3|+…+|a﹣2019|的最小值．

【拓展应用】

请在图⑤的数轴上表示出a，使它到2，5的距离之和小于4，并直接写出a的范围．

【分析】（1）根据绝对值的几何意义结合数轴即可求解；

（2）由题意可得出，取中间值a＝2时，求得最小值；

（3）由题意可得出，取中间值a＝3时，求得最小值；

（4）由题意可得出，取中间值a＝1010时，求得最小值．

【解答】（1）|a﹣2|+|a﹣5|的几何意义是a这个数在数轴上对应的点到2和5两个点的距离之和；

当a在5和2之间时（包括在5，2上），

可以看出a到5和2的距离之和等于3，

此时|a﹣2|+|a﹣5|取得最小值是3；

故答案为：a这个数在数轴上对应的点到2和5两个点的距离之和；3．

（2）|a﹣1|+|a﹣2|+|a﹣3|的几何意义是a这个数在数轴上对应的点到1、2和3三个点的距离之和．

当a取中间数时，绝对值最小，|a﹣1|+|a﹣2|+|a﹣3|的最小值是1+0+1＝2；

如图所示：

故答案为：a这个数在数轴上对应的点到1、2和3三个点的距离之和；2；2．

（3）当a取中间数3时，绝对值最小，

|a﹣1|+|a﹣2|+|a﹣3|+|a﹣4|+|a﹣5|的最小值是：2+1+0+1+2＝6．

（4）当a取中间数1010时，绝对值最小，

|a﹣1|+|a﹣2|+|a﹣3|…+|a﹣2019|的最小值为：

1009+1008+1007+…+1+0+1+2+3+…+1009＝1009×（1009+1）＝1019090．

【点评】此题主要考查了绝对值的性质，解这类问题的基本步骤是：求零点、分区间、定性质、去符号、即令各绝对值代数式为0，得若干个绝对值为零的点，这些点把数轴分成几个区间，再在各区间内化简求值即可．

牛刀小试：

上面的例题你学会了吗？那么我们来挑战一下自己吧！

1、若|a|＝a＋1，|x|＝2ax，且|x＋1|＋|x－5|＋2|x－m|的最小值是7，则m等于多少？

2、如图，一条街道旁有五幢居民楼．某大桶水经销商统计各楼居民每周所需大桶水的数量如下表：

他们计划在这条街道上租赁一间门市房，设立大桶水供应点．若仅考虑这五幢楼内的居民取水所走路程之和最小，可以选择的地点应在什么地方？

【反思】理解绝对值的几何意义是关键．结合数轴求两点之间的距离，形象直观，渗透数形结合的思想．求x到n个点距离和的最小值总结：（1）如果有奇数个点，当动点处在最中间那个点的位置时，它到所有点的距离之和最小。（2）如果有偶数个点，当动点处在最中间的两个点之间时，它到所有点的距离之和最小。用一句话来记忆，就是奇中偶范。即奇数个点时，取最小值是在最中间的点。偶数个点时，取最小值是在最中间的两个点之间的范围内都可以。

常用解题方法：（1）化简绝对值：分类讨论思想（即取绝对值的数为非负数和负数两种情况）；（2）运用绝对值的几何意义：数形结合思想，如绝对值最值问题等。（3）零点分段法：求零点、分段、区段内化简、综合。

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